Репетитор по математике онлайн: 4–11 класс, ОГЭ, ЕГЭ

Входной срез: с чего начали

На первом занятии ученик решает 12 задач за 60 минут, по две на каждую тему. Темы: программа 7 класса и задачи олимпиадного типа. Результат записываю в карту.

• Уравнения и текстовые задачиЗакрепляемлинейные уравнения, задача на движение через уравнение1 из 2
• Линейная функцияЗакрепляемграфик y = kx + b, точка пересечения графиков1 из 2
• Степени и многочленыЕсть пробелысвойства степеней, формулы сокращённого умножения, разложение на множители1 из 2
• Геометрия 7 классаЕсть пробелыравенство треугольников, равнобедренный треугольник, параллельные прямые, сумма углов0 из 2
• Делимость и остаткиГотовопризнаки делимости, остатки, чётность2 из 2
• Логика и комбинаторикаЕсть пробелы«рыцари и лжецы», перебор, правило произведения1 из 2

Итог входного среза: 6 из 12. В начале 5-й недели повторю срез с задачами тех же типов. Слабее всего геометрия: 0 из 2, доказательство по шагам ученик пока не записывает.

Почему нет инварианта и принципа Дирихле? Эти олимпиадные приёмы на входном срезе не даю: это новый материал, он начинается с 9-й недели.

План на 12 недель

Что делаем по неделям

Два занятия в неделю по 90 минут. Каждые две недели одна большая тема. В начале 5-й недели повторный срез, на 11-й неделе пробное вступительное.

1. Недели 1–2

   Уравнения, текстовые задачи, графики

   линейные уравнения → задача через уравнение → линейная функция и её график → точка пересечения графиков

   Ориентир: сам составляет уравнение по условию задачи, решает его и проверяет ответ по смыслу.

2. Недели 3–4

   Степени и многочлены

   свойства степеней → действия с многочленами → формулы сокращённого умножения → разложение на множители

   Ориентир: применяет формулы сокращённого умножения в обе стороны. Например, по формуле разности квадратов 51² − 49² = (51 − 49)(51 + 49) = 2 · 100 = 200.

3. Недели 5–6

   Геометрия 7 класса

   Контрольная точка: в начале 5-й недели повторный срез

   признаки равенства треугольников → равнобедренный треугольник → параллельные прямые → сумма углов треугольника

   Ориентир: делает чертёж и записывает доказательство по шагам: что дано, что доказать и почему верен каждый шаг.

4. Недели 7–8

   Делимость, остатки, логика

   признаки делимости → остатки и чётность → «рыцари и лжецы» → найти все ответы

   Ориентир: объясняет ответ через остатки и чётность. Например: сумма пяти нечётных чисел не может равняться 100, потому что она нечётная.

5. Недели 9–10

   Комбинаторика и олимпиадные приёмы

   правило произведения → перебор без повторов → инвариант → принцип Дирихле

   Ориентир: считает варианты без пропусков и повторов, по условию узнаёт, какой приём нужен, и записывает решение полным текстом.

6. Недели 11–12

   Пробное вступительное

   Контрольная точка: пробное вступительное на 11-й неделе

   пробная работа на 2 часа → разбор ошибок → повтор слабых тем → рассказ решения вслух

   Ориентир: держит темп работы на 2 часа, не застревает на одной задаче и может рассказать своё решение вслух.

Связь со вступительными

Зачем именно эти темы

На вступительных в физмат-лицей темы смешаны в одной работе. Поэтому тренируем и отдельные приёмы, и выбор приёма в незнакомой задаче.

Уравнения и текстовые задачи

задачи на движение, работу и части, где уравнение нужно составить самому

Линейная функция

задачи с графиками и координатами

Степени и многочлены

удобный счёт и доказательства вида «делится при любом n»

Геометрия 7 класса

задачи на доказательство с чертежом

Делимость и остатки

задачи про цифры и остатки: «может ли…», «найдите все…»

Логика и комбинаторика

задачи, где ответов несколько и нужно найти все

Олимпиадные приёмы

нестандартные задачи олимпиадного типа

Запись и рассказ решения

задачи, где вместе с ответом проверяют решение

Примеры задач

Задачи из плана

Задачи по программе 7 класса и олимпиадные, в духе кружков и вступительных работ, по две на каждый блок. Под каждой задачей ответ и пошаговое решение, как в PDF для родителей.

1. Недели 1–2 · текстовая задача через уравнение

   Турист прошёл маршрут за три дня. В первый день он прошёл треть маршрута, во второй на 4 км меньше, чем в первый, а в третий оставшиеся 22 км. Какова длина маршрута?

   Ответ и решение

   Ответ: 54 км.

   1. Удобно обозначить через x не весь маршрут, а путь первого дня. Тогда весь маршрут 3x км, а во второй день турист прошёл (x − 4) км.
   2. Уравнение: x + (x − 4) + 22 = 3x. Упрощаю: 2x + 18 = 3x, откуда x = 18.
   3. Весь маршрут: 18 · 3 = 54 км.
   4. Проверка: во второй день 18 − 4 = 14 км, и 18 + 14 + 22 = 54.

2. Недели 1–2 · линейная функция

   Найдите координаты точки пересечения графиков функций y = 2x − 3 и y = 6 − x.

   Ответ и решение

   Ответ: (3; 3).

   1. В точке пересечения у обоих графиков один и тот же y, поэтому приравниваю: 2x − 3 = 6 − x.
   2. Переношу x влево, числа вправо: 3x = 9, x = 3.
   3. Подставляю в первую функцию: y = 2 · 3 − 3 = 3.
   4. Проверка по второй функции: 6 − 3 = 3, y тот же. Точка (3; 3).

3. Недели 3–4 · формулы сокращённого умножения

   Вычислите удобным способом: 37² + 2 · 37 · 13 + 13².

   Ответ и решение

   Ответ: 2500.

   1. Это квадрат суммы: a² + 2ab + b² = (a + b)², где a = 37, b = 13.
   2. Значит, выражение равно (37 + 13)² = 50² = 2500.
   3. Проверка прямым счётом: 37² = 1369, 13² = 169, 2 · 37 · 13 = 962, 1369 + 962 + 169 = 2500.

4. Недели 3–4 · разложение на множители

   Докажите, что при любом целом n значение выражения (n + 3)² − (n − 3)² делится на 12.

   Ответ и решение

   Ответ: выражение равно 12n, а 12n делится на 12.

   1. Это разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b), где a = n + 3, b = n − 3.
   2. Множители: (n + 3) − (n − 3) = 6 и (n + 3) + (n − 3) = 2n.
   3. Значит, выражение равно 6 · 2n = 12n, а 12n делится на 12 при любом целом n.
   4. Проверка при n = 5: 8² − 2² = 64 − 4 = 60, и 60 : 12 = 5.

5. Недели 5–6 · равнобедренный треугольник

   В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, угол B равен 40°. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Найдите угол ADC.

   Ответ и решение

   Ответ: 75°.

   1. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому углы A и C равны: (180° − 40°) : 2 = 70°.
   2. Биссектриса делит угол A пополам: угол DAC равен 70° : 2 = 35°.
   3. В треугольнике ADC сумма углов 180°, поэтому угол ADC равен 180° − 35° − 70° = 75°.
   4. Проверка через треугольник ABD: угол ADB равен 180° − 40° − 35° = 105°. Углы ADB и ADC смежные, и 105° + 75° = 180°.

6. Недели 5–6 · равенство треугольников и параллельные прямые

   Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Докажите, что AC = BD и что прямые AC и BD параллельны.

   Ответ и решение

   Ответ: треугольники AOC и BOD равны по первому признаку, отсюда оба утверждения.

   1. Рассмотрим треугольники AOC и BOD: AO = OB и CO = OD, потому что O середина обоих отрезков.
   2. Углы AOC и BOD равны как вертикальные.
   3. По первому признаку (две стороны и угол между ними) треугольники AOC и BOD равны. Значит, AC = BD.
   4. Из равенства треугольников угол OAC равен углу OBD. Это накрест лежащие углы при прямых AC и BD и секущей AB, поэтому прямые AC и BD параллельны.

7. Недели 7–8 · остатки

   Натуральное число при делении на 7 даёт остаток 5. Какой остаток при делении на 7 даёт квадрат этого числа?

   Ответ и решение

   Ответ: 4.

   1. Запишу число как 7k + 5, где k целое.
   2. Квадрат: (7k + 5)² = 49k² + 70k + 25. Первые два слагаемых делятся на 7.
   3. Значит, остаток такой же, как у 25, а 25 : 7 = 3 (ост. 4).
   4. Проверка на числе 12: 12 : 7 = 1 (ост. 5), 12² = 144, 144 : 7 = 20 (ост. 4).

8. Недели 7–8 · логика, найдите все ответы

   За круглым столом сидят 10 человек, каждый из них рыцарь (всегда говорит правду) или лжец (всегда лжёт). Каждый сказал: «Оба моих соседа лжецы». Сколько рыцарей может быть за столом? Найдите все ответы.

   Ответ и решение

   Ответ: 4 или 5.

   1. Рыцарь сказал правду: оба его соседа лжецы. Значит, два рыцаря рядом не сидят, и рыцарей не больше половины, то есть не больше 5.
   2. Лжец солгал: хотя бы один его сосед рыцарь. Значит, трёх лжецов подряд нет, иначе у среднего оба соседа лжецы.
   3. Если рыцарей 3 или меньше, лжецов не меньше 7, а промежутков между рыцарями не больше 3. Тогда в каком-то промежутке хотя бы 3 лжеца подряд, так нельзя. Без рыцарей тоже нельзя: тогда каждый сказал бы правду.
   4. Подходят 5 рыцарей через одного и 4 рыцаря по кругу так: рыцарь, лжец, лжец, рыцарь, лжец, лжец, рыцарь, лжец, рыцарь, лжец. Частая ошибка: найти один ответ и остановиться.

9. Недели 9–10 · комбинаторика

   Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры разные?

   Ответ и решение

   Ответ: 648.

   1. Первая цифра: любая, кроме 0, это 9 вариантов.
   2. Вторая цифра: любая, кроме первой. Ноль здесь уже можно, поэтому снова 9 вариантов.
   3. Третья цифра: любая, кроме двух уже занятых, это 8 вариантов.
   4. По правилу произведения: 9 · 9 · 8 = 648. Частая ошибка: считать 9 · 8 · 7 и забыть, что ноль может стоять на втором и третьем месте.

10. Недели 9–10 · принцип Дирихле

    Докажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.

    Ответ и решение

    Ответ: найдутся: остатков при делении на 5 всего пять, а чисел шесть.

    1. При делении на 5 возможны только пять остатков: 0, 1, 2, 3 и 4.
    2. Чисел шесть, а остатков пять. По принципу Дирихле у каких-то двух чисел остатки одинаковые: числа здесь «кролики», а остатки «клетки».
    3. Если у двух чисел остатки одинаковые, их разность делится на 5. Например, у 23 и 8 остаток 3, и 23 − 8 = 15.
    4. Пяти чисел может не хватить: у чисел 0, 1, 2, 3 и 4 ни одна разность на 5 не делится.

Между занятиями

Домашнее задание

После каждого занятия присылаю два PDF: задачи для ребёнка и пошаговые решения для вас. Решения получаете только вы и сами решаете, когда их показать. Когда приём уже понятен, в задании появляется задача на смекалку из сборника.

Дополнительный материал

Задачи на смекалку

Беру задачи из сборника А. В. Спивака «Тысяча и одна задача по математике. 5–7 классы». Подряд его не проходим: задача из сборника появляется на занятии или в домашнем задании, когда приём уже понятен.

1. Изучили темупоняли приём
2. Закрепилирешили обычные упражнения
3. Задача из сборникаприменили приём в новой ситуации

Контрольная точка

Пробное вступительное на 11-й неделе

Работа на 2 часа по всем темам карты, задачи в духе вступительных работ прошлых лет. После работы смотрю на три вещи:

• сколько задач решено и на чём потеряны баллы;
• найдены ли все ответы там, где их несколько;
• понятно ли записано решение и доказательство.

Ошибки разбираем на следующем занятии. На случай собеседования ученик рассказывает вслух решение одной-двух задач. По итогам пробника выбираю темы на последнюю неделю.

Срез на старте и через 4 недели

На старте ученик решает входную работу, результат по каждой теме записываю в карту. Через 4 недели даю новую работу с теми же типами задач, и «до» и «после» видно рядом. По этому срезу работает гарантия «Результат или 2 занятия бесплатно».

Как отмечаю прогресс

Карту обновляю по итогам занятий: устойчивые темы уходят в повторение, в план добавляется следующий шаг.

С чего начали

• Отрицательные числаЕсть пробелыправила знаков, раскрытие скобок с минусом
• Обыкновенные дробиЗакрепляемобщий знаменатель, смешанные числа
• Проценты и пропорцииЕсть пробелыпроцент от числа, число по его проценту, пропорция
• Линейные уравненияСледующий шагперенос слагаемых, уравнения со скобками, проверка

Почему начинаем с тем 5–6 класса? Часто ошибки в 7 классе выросли из старых: путаница в знаках и дробях внутри новых тем. Когда закрываем их, текущие темы идут легче.

Ближайший месяц

Что делаем дальше

Четыре этапа по порядку, без жёсткой привязки к неделям. Если навык складывается быстрее, идём дальше. Если всплывает старый пробел, сначала закрываем его.

1. Этап 1

   Знаки и дроби без ошибок

   правила знаков → раскрытие скобок → действия с дробями → порядок действий

   Ориентир: решает выражения со скобками и минусами без ошибок в знаках и сам находит ошибку при проверке.

2. Этап 2

   Выражения и уравнения

   подобные слагаемые → раскрытие скобок → линейные уравнения → проверка подстановкой

   Ориентир: сам решает уравнение вроде 3(x − 2) = x + 4 и проверяет ответ подстановкой: при x = 5 слева 3 · 3 = 9, справа 5 + 4 = 9.

3. Этап 3

   Проценты и текстовые задачи

   процент от числа → число по его проценту → пропорция → задача через уравнение

   Ориентир: составляет уравнение по условию и проверяет ответ по смыслу задачи.

4. Этап 4

   Догоняем программу класса

   степень с натуральным показателем → одночлены → многочлены → в геометрии: признаки равенства треугольников

   Ориентир: к контрольной по текущей теме подходит без старых пробелов.

Связь со школой

Зачем именно эти темы

Каждая тема из начала карты нужна дальше, в 7–9 классе.

Отрицательные числа и дроби

любые выражения и уравнения в алгебре

Раскрытие скобок

многочлены и формулы сокращённого умножения в 7 классе

Линейные уравнения

текстовые задачи и системы уравнений в конце 7 класса

Проценты и пропорции

задачи ВПР и ОГЭ, подобие треугольников в 8 классе

Как растёт сложность

• Сначала короткие задания на одно правило, пока ошибка не уйдёт.
• Затем смешанные задания, как в школьной контрольной.
• После этого текущие темы класса, где старые навыки уже внутри.
• Закрытые темы остаются в коротком повторении в начале занятий.

Срез на старте и через 4 недели

На старте ученик решает входную работу, результат по каждой теме записываю в карту. Через 4 недели даю новую работу с теми же типами задач, и «до» и «после» видно рядом. По этому срезу работает гарантия «Результат или 2 занятия бесплатно».

Как отмечаю прогресс

Карту обновляю по итогам занятий: устойчивые темы уходят в повторение, в план добавляется следующий шаг.